Neuromatch Academy教程：隐藏动力学中的序贯概率比检验与漂移扩散模型

摘要

本教程将介绍如何利用序贯概率比检验(SPRT)来处理随时间变化的动态观测数据，并推导出著名的漂移扩散模型(DDM)。我们将通过理论推导和代码实现，帮助读者理解证据累积决策过程的数学基础及其神经科学应用。

1. 序贯概率比检验基础

序贯概率比检验(SPRT)是一种统计假设检验方法，特别适用于需要连续收集数据并做出决策的场景。在神经科学中，这一方法被广泛用于模拟感知决策过程。

1.1 基本假设

考虑一个二元决策问题，潜在状态s可以是+1或-1。我们有以下关键假设：

• 观测值m服从以sμ为中心、σ为标准差的正态分布
• 状态s在观测期间保持不变
• 每次观测独立同分布

1.2 对数似然比

SPRT的核心是计算对数似然比(LLR)：

LLR = log[P(m|s=+1)/P(m|s=-1)]

对于正态分布观测，单个时间步的LLR可简化为：

LLR_t = (2μ/σ²)m_t

总证据是所有观测LLR的累加和：

总LLR = Σ(2μ/σ²)m_t

2. 漂移扩散模型(DDM)

2.1 从SPRT到DDM

通过数学推导，我们可以将SPRT转化为漂移扩散模型：

1. 定义证据累积过程为随机游走：

x(t+Δt) = x(t) + vΔt + σ√Δt·η

其中v=μ是漂移率，η是标准正态噪声

2. 在连续时间极限下，这成为带有漂移的布朗运动：

dx = v dt + σ dW

2.2 模型参数

DDM包含三个关键参数：

1. 漂移率(v)：反映信号强度
2. 噪声强度(σ)：反映观测不确定性
3. 决策阈值(±θ)：决定何时停止累积证据

3. 速度-准确性权衡

决策过程中存在经典的速度-准确性权衡：

• 高阈值：准确性高但决策时间长
• 低阈值：决策快但错误率增加

这一现象可以通过改变决策阈值来定量研究。

4. 代码实现与可视化

4.1 固定时间停止规则

def simulate_SPRT_fixedtime(mu, sigma, stop_time):
    """模拟固定时间停止的SPRT过程"""
    evidence = 0
    evidence_history = []
    Mvec = []
    
    for _ in range(stop_time):
        # 生成观测值
        M = np.random.normal(mu, sigma)
        Mvec.append(M)
        # 更新证据
        delta_evidence = (2 * mu * M) / (sigma ** 2)
        evidence += delta_evidence
        evidence_history.append(evidence)
    
    # 做出决策
    decision = 1 if evidence > 0 else -1
    return np.array(evidence_history), decision, np.array(Mvec)

4.2 固定阈值停止规则

def simulate_SPRT_threshold(mu, sigma, threshold):
    """模拟固定阈值停止的SPRT过程"""
    evidence = 0
    evidence_history = []
    Mvec = []
    
    while True:
        # 生成观测值
        M = np.random.normal(mu, sigma)
        Mvec.append(M)
        # 更新证据
        delta_evidence = (2 * mu * M) / (sigma ** 2)
        evidence += delta_evidence
        evidence_history.append(evidence)
        
        # 检查是否达到阈值
        if abs(evidence) >= threshold:
            decision = 1 if evidence > 0 else -1
            break
    
    return np.array(evidence_history), decision, np.array(Mvec)

5. 分析与讨论

5.1 决策准确性分析

决策准确性随停止时间变化的解析解为：

准确率 = 0.5[1 + erf(μ√T/σ√2)]

其中erf是误差函数，T是停止时间。

5.2 实际应用意义

1. 神经决策机制：DDM很好地模拟了皮层神经元在决策任务中的活动模式
2. 认知建模：可用于研究注意力缺陷、老年认知衰退等病理状态
3. 人机交互：优化界面设计以减少用户决策时间

6. 扩展思考

1. 如果观测分布不是高斯分布，模型将如何变化？
2. 当潜在状态s本身随时间变化时，如何扩展模型？
3. 如何将这一框架应用于多选项决策问题？

通过本教程，读者应能理解SPRT与DDM的基本原理，并实现简单的模拟实验。这一框架为研究神经决策过程提供了有力的数学工具。