SymPy求解器教程：代数方程与微分方程求解详解

前言

SymPy作为Python中强大的符号计算库，提供了丰富的方程求解功能。本文将全面介绍SymPy中各类求解器的使用方法，包括代数方程求解和微分方程求解，帮助读者掌握这一强大工具的核心功能。

方程表示基础

在SymPy中，方程的表达方式与常规数学表达式有所不同：

1. 使用Eq类表示等式关系
2. 任何表达式在求解时默认等于0

from sympy import *
x, y = symbols('x y')

# 三种等效的方程表示方法
Eq(x**2, 1)      # 显式等式
Eq(x**2 - 1, 0)  # 移项后的等式
x**2 - 1         # 隐式等于0的表达式

代数方程求解

单变量方程求解

solveset是SymPy推荐的主要求解函数，其基本语法为：

solveset(equation, variable=None, domain=S.Complexes)

典型示例：

# 多项式方程
solveset(x**2 - x, x)  # 返回{0, 1}

# 三角函数方程
solveset(sin(x) - 1, x, domain=S.Reals)
# 返回{2⋅n⋅π + π/2 | n ∈ ℤ}

# 无解情况
solveset(exp(x), x)  # 返回空集∅

方程解的多重性

solveset会去除重复解，如需考虑重根，应使用roots函数：

roots(x**3 - 6*x**2 + 9*x, x) 
# 返回{0: 1, 3: 2} 表示0是单根，3是二重根

线性方程组求解

使用linsolve求解线性方程组，支持多种输入形式：

1. 方程列表形式：

linsolve([x + y + z - 1, x + y + 2*z - 3], (x, y, z))

2. 增广矩阵形式：

M = Matrix(([1, 1, 1, 1], [1, 1, 2, 3]))
linsolve(M, (x, y, z))

3. 矩阵方程形式：

A, b = M[:, :-1], M[:, -1]
linsolve((A, b), x, y, z)

非线性方程组求解

使用nonlinsolve求解非线性方程组：

# 实数解
nonlinsolve([x*y - 1, x - 2], x, y)  # 返回{(2, 1/2)}

# 复数解
nonlinsolve([x**2 + 1, y**2 + 1], [x, y])

# 混合解
system = [x**2 - 2*y**2 -2, x*y - 2]
nonlinsolve(system, [x, y])

微分方程求解

SymPy使用dsolve求解微分方程，基本步骤如下：

1. 定义未知函数：

f = symbols('f', cls=Function)

2. 建立微分方程：

diffeq = Eq(f(x).diff(x, x) - 2*f(x).diff(x) + f(x), sin(x))

3. 求解微分方程：

dsolve(diffeq, f(x))
# 返回f(x) = (C₁ + C₂⋅x)⋅exp(x) + cos(x)/2

对于更复杂的微分方程：

dsolve(f(x).diff(x)*(1 - sin(f(x))) - 1, f(x))
# 返回-x + f(x) + cos(f(x)) = C₁

求解器的限制与注意事项

1. solveset目前无法求解LambertW类型的超越方程，此时应使用solve
2. nonlinsolve对三角方程的支持尚不完善
3. 微分方程的解通常包含任意常数(C1, C2等)
4. 解的顺序与输入符号的顺序一致

结语

SymPy提供了从简单代数方程到复杂微分方程的全面求解方案。通过本教程，读者应能掌握solveset、linsolve、nonlinsolve和dsolve等核心求解器的使用方法。对于更复杂的方程类型，可结合使用solve等辅助函数。随着SymPy的持续发展，其求解能力将不断增强，建议关注官方文档获取最新功能信息。