PRML/PRMLT项目中的高斯混合模型EM算法实现解析

1. 算法概述

高斯混合模型(Gaussian Mixture Model, GMM)是一种强大的概率模型，常用于聚类分析和密度估计。本文分析的mixGaussEm.m文件实现了使用期望最大化(Expectation-Maximization, EM)算法来拟合高斯混合模型的核心功能。

EM算法是一种迭代优化方法，特别适用于含有隐变量的概率模型参数估计。对于高斯混合模型，EM算法通过交替执行以下两步来估计模型参数：

1. E步(期望步骤)：计算每个数据点属于各个高斯分量的后验概率
2. M步(最大化步骤)：基于E步的结果更新模型参数

2. 核心函数结构

2.1 主函数mixGaussEm

主函数接收两个输入参数：

• X：d×n的数据矩阵，d是特征维度，n是样本数量
• init：初始化参数，可以是以下三种形式之一：
  • 标量k：指定聚类数量
  • 1×n的标签向量
  • 包含初始参数的结构体

函数输出包括：

• label：1×n的聚类标签向量
• model：训练好的模型结构体
• llh：对数似然值序列

算法流程：

1. 初始化：根据输入参数初始化隶属度矩阵R
2. 迭代执行EM步骤，直到收敛或达到最大迭代次数
3. 返回最终结果

2.2 初始化函数initialization

该函数根据不同的初始化方式生成初始的隶属度矩阵R：

1. 如果输入是模型结构体，直接计算期望
2. 如果输入是标量k，随机初始化k个聚类
3. 如果输入是标签向量，转换为one-hot编码形式的隶属度矩阵

2.3 期望步骤expectation

E步计算每个数据点属于各个高斯分量的后验概率：

1. 计算每个高斯分量下的对数概率密度
2. 加上混合权重的对数
3. 使用logsumexp技巧进行归一化
4. 计算对数似然值

2.4 最大化步骤maximization

M步基于当前隶属度矩阵更新模型参数：

1. 计算新的混合权重w
2. 计算新的均值向量mu
3. 计算新的协方差矩阵Sigma

3. 关键技术细节

3.1 数值稳定性处理

代码中使用了多项技术确保数值稳定性：

1. 对数域计算：在E步中，所有计算都在对数域进行，避免小数值相乘导致的数值下溢
2. logsumexp技巧：用于在对数域进行概率归一化
3. 协方差正则化：在计算协方差矩阵时添加一个小的对角矩阵(1e-6*I)防止奇异

3.2 聚类数量自适应

算法通过以下机制自动调整实际使用的聚类数量：

R = R(:,unique(label));  % 移除空聚类

这确保了在迭代过程中，没有数据点分配的聚类会被自动移除。

3.3 收敛判断

使用相对变化作为收敛标准：

if abs(llh(iter)-llh(iter-1)) < tol*abs(llh(iter)); break; end;

当对数似然的相对变化小于给定容差时，算法终止。

4. 高斯概率密度计算

loggausspdf函数实现了高效的对数高斯概率密度计算：

1. 使用Cholesky分解处理协方差矩阵
2. 通过解三角方程组计算马氏距离
3. 精心处理归一化常数

5. 实际应用建议

1. 初始化策略：对于不同问题，可以尝试多种初始化方法：

   • 随机初始化(k-means++)
   • 基于领域知识的初始化
   • 多次随机重启选择最佳结果

2. 参数选择：

   • 协方差矩阵的正则化系数(1e-6)可根据数据特性调整
   • 最大迭代次数和收敛容差可根据问题规模调整

3. 模型选择：

   • 可以使用BIC或AIC准则确定最优聚类数量k
   • 对于高维数据，可考虑使用对角协方差矩阵或共享协方差矩阵

6. 总结

该实现提供了高斯混合模型EM算法的一个高效、稳定的MATLAB实现，具有以下特点：

1. 支持多种初始化方式
2. 自动处理空聚类
3. 数值稳定性良好
4. 代码结构清晰，易于理解和扩展

对于希望理解或应用高斯混合模型的研究人员和工程师，这个实现提供了很好的参考价值。