离散状态最优控制：基于隐马尔可夫模型的捕鱼决策分析

前言

在神经科学和认知科学领域，理解生物体如何做出最优决策是一个核心问题。本教程将介绍如何使用离散状态的最优控制理论来建模一个简单的决策问题——在两个捕鱼点之间做出选择以最大化收益。我们将基于隐马尔可夫模型(HMM)构建一个部分可观测马尔可夫决策过程(POMDP)，并探讨如何通过信念更新和策略优化来实现最优控制。

问题描述

想象你是一个渔夫，面前有两个捕鱼点：左边和右边。鱼群会在这两个点之间随机移动，但你无法直接观察到鱼群的位置。你只能通过在不同位置尝试捕鱼的结果来推断鱼群可能的位置。每次切换捕鱼点都需要付出一定的成本。我们的目标是找到一个最优策略，在长期捕鱼过程中最大化净收益（捕获的鱼减去切换成本）。

模型构建

1. 状态空间与动态

鱼群的位置可以用一个二元状态表示：

• 0：鱼群在左侧
• 1：鱼群在右侧

鱼群的动态遵循一个简单的马尔可夫过程，即"电报过程"(telegraph process)，其特点是：

• 鱼群以概率p_stay保持当前位置
• 以概率1-p_stay切换到另一位置

def fish_dynamics(self):
    p_stay, _, _, _ = self.params
    fish_state = np.zeros(self.T, int)  # 0: left side and 1: right side
    
    # initialization
    fish_state[0] = self.fish_initial
    tele_operations = binomial_tele(p_stay, self.T) # 0: switch and 1: stay
    
    for t in range(1, self.T):
        # we use logical operation NOT XOR to determine the next state
        fish_state[t] = int(not(fish_state[t-1] ^ tele_operations[t]))
    
    return fish_state

2. 观测模型

渔夫无法直接观察鱼群位置，只能通过捕鱼结果来推断：

• 在鱼群所在位置捕鱼，有较高概率p_high_rwd捕获鱼
• 在另一位置捕鱼，有较低概率p_low_rwd捕获鱼

观测结果是一个二元变量：

• 0：未捕获鱼
• 1：捕获鱼

3. 信念更新

渔夫需要根据历史观测结果维护一个关于鱼群位置的信念(belief)，即后验概率分布。信念更新遵循贝叶斯规则：

1. 预测步骤：基于当前信念和状态转移矩阵预测下一时刻的信念
2. 更新步骤：根据新观测结果更新信念

def update_belief(self, belief, loc, meas):
    p_stay, p_low_rwd, p_high_rwd, _ = self.params
    
    # 预测步骤
    predicted_belief = p_stay * belief + (1 - p_stay) * (1 - belief)
    
    # 更新步骤
    if meas == 1:  # 捕获鱼
        likelihood = p_high_rwd if loc == 1 else p_low_rwd
    else:  # 未捕获鱼
        likelihood = 1 - p_high_rwd if loc == 1 else 1 - p_low_rwd
    
    updated_belief = (likelihood * predicted_belief) / \
                    (likelihood * predicted_belief + 
                     (p_low_rwd if loc == 0 else p_high_rwd) * (1 - predicted_belief))
    
    return updated_belief

策略与价值函数

1. 策略类型

我们考虑两种基本策略：

1. 懒惰策略：始终停留在初始位置
2. 阈值策略：当信念超过某个阈值时切换位置

def threshold_policy(belief, threshold):
    # 如果当前在左侧且右侧信念超过阈值，切换到右侧
    # 如果当前在右侧且左侧信念(1-belief)超过阈值，切换到左侧
    # 否则保持当前位置
    ...

2. 价值函数

价值函数衡量长期累积奖励，考虑：

• 即时奖励：捕获鱼的期望数量
• 切换成本：每次改变位置的成本

我们需要找到使价值函数最大化的最优策略。

实验与结果分析

1. 可视化工具

我们提供了一系列可视化函数来展示系统动态：

def plot_dynamics(belief, loc, act, meas, fish_state, choose_policy):
    # 绘制鱼群动态、信念变化、观测结果和行动
    ...

2. 最优阈值确定

通过扫描不同阈值下的价值函数，我们可以找到最优阈值：

def find_optimal_threshold():
    # 测试不同阈值
    thresholds = np.linspace(0.5, 0.9, 20)
    values = []
    
    for th in thresholds:
        total_reward = simulate_with_threshold(th)
        values.append(total_reward)
    
    # 绘制价值函数与阈值关系
    plot_value_threshold(thresholds, values)
    
    return thresholds[np.argmax(values)]

结论与讨论

通过本教程，我们实现了一个基于POMDP的离散状态最优控制系统。关键收获包括：

1. 隐马尔可夫模型为部分可观测环境下的决策提供了强大框架
2. 信念更新是将观测信息转化为状态估计的核心机制
3. 阈值策略是一种简单有效的控制方法
4. 最优策略需要在即时奖励和长期成本之间取得平衡

这种方法可以推广到更复杂的决策问题，如动物觅食、机器人路径规划等。理解这些基本机制有助于我们研究生物神经系统如何实现高效的感知-行动循环。