Neuromatch Academy动态网络教程：Wilson-Cowan模型的扩展分析

摘要

本文深入探讨Wilson-Cowan神经群体模型的动力学特性分析，包括固定点求解、稳定性分析和振荡行为研究。我们将通过数学推导和数值模拟，揭示该模型在不同参数条件下的丰富动力学行为。

1. Wilson-Cowan模型回顾

Wilson-Cowan模型是描述兴奋性(E)和抑制性(I)神经元群体相互作用的经典数学模型。该模型由两个耦合的微分方程组成：

τ_E drE/dt = -rE + F(wEE·rE - wEI·rI + I_ext_E)
τ_I drI/dt = -rI + F(wIE·rE - wII·rI + I_ext_I)

其中F(x)是S型激活函数：

F(x) = 1/(1+exp(-a(x-θ))) - 1/(1+exp(aθ))

2. 固定点分析

2.1 零斜线计算

固定点是系统状态不再随时间变化的点，可通过求解零斜线交点得到。

兴奋性群体零斜线：

def get_E_nullcline(rE, a_E, theta_E, wEE, wEI, I_ext_E):
    return (wEE*rE - F_inv(rE,a_E,theta_E) + I_ext_E)/wEI

抑制性群体零斜线：

def get_I_nullcline(rI, a_I, theta_I, wIE, wII, I_ext_I):
    return (wII*rI + F_inv(rI,a_I,theta_I) - I_ext_I)/wIE

2.2 固定点求解

使用数值方法寻找零斜线交点：

def find_fixed_points(pars):
    # 定义需要求解的方程组
    def equations(vars):
        rE, rI = vars
        drEdt, drIdt = EIderivs(rE, rI, **pars)
        return [drEdt, drIdt]
    
    # 初始猜测值
    initial_guess = [0.2, 0.2]
    
    # 使用fsolve求解
    solution = opt.fsolve(equations, initial_guess)
    
    return solution

3. 稳定性分析

3.1 Jacobian矩阵计算

通过线性化分析固定点附近的系统行为：

def compute_jacobian(rE, rI, pars):
    # 计算各偏导数
    J11 = (-1 + wEE*dF(wEE*rE-wEI*rI+pars['I_ext_E'], pars['a_E'], pars['theta_E']))/pars['tau_E']
    J12 = (-wEI*dF(wEE*rE-wEI*rI+pars['I_ext_E'], pars['a_E'], pars['theta_E']))/pars['tau_E']
    J21 = (wIE*dF(wIE*rE-wII*rI+pars['I_ext_I'], pars['a_I'], pars['theta_I']))/pars['tau_I']
    J22 = (-1 - wII*dF(wIE*rE-wII*rI+pars['I_ext_I'], pars['a_I'], pars['theta_I']))/pars['tau_I']
    
    return np.array([[J11, J12], [J21, J22]])

3.2 稳定性判据

通过Jacobian矩阵的特征值判断固定点稳定性：

• 所有特征值实部为负：稳定节点
• 有正实部特征值：不稳定
• 纯虚数特征值：中心点（可能产生极限环）

4. 振荡行为研究

4.1 参数调节

通过调整连接权重可产生振荡：

• 增加wIE（兴奋到抑制连接）促进振荡
• 减小τ_I/τ_E比值可改变振荡频率

4.2 极限环分析

当系统存在不稳定焦点时，可能产生稳定的极限环振荡。可通过相平面分析和庞加莱-本迪克松定理判断极限环存在性。

5. 应用案例

5.1 抑制稳定网络(ISN)

当抑制反馈足够强时，系统可呈现抑制稳定状态：

pars_ISN = default_pars(wEE=11.5, wEI=10, wIE=10, wII=1)

5.2 工作记忆模拟

通过设置适当的兴奋性自连接wEE，系统可表现出双稳态，模拟工作记忆的保持：

pars_WM = default_pars(wEE=20, wEI=12, wIE=15, wII=5)

6. 数值实现技巧

1. 时间步长选择：建议dt ≤ 0.1ms以保证数值稳定性
2. 零斜线绘制：使用密集采样点(100点以上)保证曲线平滑
3. 向量场可视化：适当调整箭头缩放比例(myscale)以获得清晰图示
4. 轨迹分析：从不同初始条件出发，观察系统收敛行为

7. 总结

Wilson-Cowan模型虽然形式简单，但能展现丰富的动力学行为。通过系统分析其固定点、稳定性和振荡特性，我们可以深入理解神经群体活动的潜在机制。该模型为研究大脑皮层的各种现象提供了有力的理论框架。

注：本文代码实现基于Python科学计算栈(numpy, scipy, matplotlib)，建议在Jupyter notebook环境中运行以获得最佳交互体验。