DeepXDE项目教程：一维泊松方程的Dirichlet/Periodic边界条件求解
问题描述
本教程将介绍如何使用DeepXDE框架求解具有Dirichlet和Periodic边界条件的一维泊松方程。泊松方程是科学计算中常见的一类偏微分方程，广泛应用于电磁学、流体力学和热传导等领域。
我们考虑的具体方程形式为：
-∇²u = π²sin(πx), x ∈ [-1, 1]
边界条件设置如下：
- 左边界(x=-1)处采用Dirichlet边界条件：u(-1)=0
- 右边界(x=1)处采用Periodic边界条件：u(0)=u(1)
该问题的解析解为u(x) = sin(πx)，我们将使用深度学习方法逼近这个解。
环境准备与导入
首先需要导入必要的Python模块：
import deepxde as dde
import numpy as np
from deepxde.backend import tf
这里我们导入了DeepXDE主模块、NumPy数值计算库以及TensorFlow后端接口。
计算几何定义
DeepXDE提供了方便的几何定义工具，对于一维问题，我们可以使用Interval类：
geom = dde.geometry.Interval(-1, 1)
这定义了一个从-1到1的一维区间，作为我们问题的求解域。
偏微分方程残差定义
接下来定义泊松方程的残差形式：
def pde(x, y):
dy_xx = dde.grad.hessian(y, x)
return -dy_xx - np.pi ** 2 * tf.sin(np.pi * x)
这里：
x是输入坐标y是神经网络预测的解dde.grad.hessian计算二阶导数- 返回值为PDE残差，理想情况下应为0
边界条件定义
Periodic边界条件
右边界(x=1)处的Periodic边界条件需要定义一个判断函数：
def boundary_r(x, on_boundary):
return on_boundary and dde.utils.isclose(x[0], 1)
这个函数返回True当且仅当点在边界上且x坐标接近1。使用dde.utils.isclose是为了避免浮点数精度问题。
Dirichlet边界条件
左边界(x=-1)处的Dirichlet边界条件类似：
def boundary_l(x, on_boundary):
return on_boundary and dde.utils.isclose(x[0], -1)
边界值函数
我们还需要定义边界上的值函数：
def func(x):
return np.sin(np.pi * x)
这个函数实际上就是我们的解析解，用于Dirichlet边界条件的值设定和误差计算。
边界条件对象创建
基于上述定义，我们可以创建边界条件对象：
bc1 = dde.icbc.DirichletBC(geom, func, boundary_l) # Dirichlet边界
bc2 = dde.icbc.PeriodicBC(geom, 0, boundary_r) # Periodic边界
PDE问题定义
将几何、PDE残差和边界条件组合成完整的PDE问题：
data = dde.data.PDE(
geom,
pde,
[bc1, bc2],
16, # 内部训练点数
2, # 边界训练点数
solution=func, # 参考解
num_test=100 # 测试点数
)
神经网络构建
我们使用全连接神经网络(FNN)作为求解器：
layer_size = [1] + [50] * 3 + [1] # 1输入层，3个50神经元隐藏层，1输出层
activation = "tanh" # 激活函数
initializer = "Glorot uniform" # 权重初始化
net = dde.nn.FNN(layer_size, activation, initializer)
这种结构对于一维问题通常能取得不错的效果，tanh激活函数适合处理光滑解。
模型训练
模型编译
model = dde.Model(data, net)
model.compile(
"adam", # 优化器
lr=0.001, # 学习率
metrics=["l2 relative error"] # 评估指标
)
训练过程
losshistory, train_state = model.train(iterations=10000)
训练10000次迭代，返回损失历史记录和训练状态。
结果分析
训练完成后，可以观察到L2相对误差通常会收敛到很小的值(1e-3量级或更低)，表明神经网络成功学习了泊松方程的解。
完整代码
以下是完整的实现代码：
import deepxde as dde
import numpy as np
from deepxde.backend import tf
# 定义几何
geom = dde.geometry.Interval(-1, 1)
# 定义PDE
def pde(x, y):
dy_xx = dde.grad.hessian(y, x)
return -dy_xx - np.pi ** 2 * tf.sin(np.pi * x)
# 定义边界条件
def boundary_r(x, on_boundary):
return on_boundary and dde.utils.isclose(x[0], 1)
def boundary_l(x, on_boundary):
return on_boundary and dde.utils.isclose(x[0], -1)
def func(x):
return np.sin(np.pi * x)
bc1 = dde.icbc.DirichletBC(geom, func, boundary_l)
bc2 = dde.icbc.PeriodicBC(geom, 0, boundary_r)
# 定义PDE问题
data = dde.data.PDE(geom, pde, [bc1, bc2], 16, 2, solution=func, num_test=100)
# 构建神经网络
layer_size = [1] + [50] * 3 + [1]
activation = "tanh"
initializer = "Glorot uniform"
net = dde.nn.FNN(layer_size, activation, initializer)
# 构建模型并训练
model = dde.Model(data, net)
model.compile("adam", lr=0.001, metrics=["l2 relative error"])
losshistory, train_state = model.train(iterations=10000)
总结
本教程展示了如何使用DeepXDE求解带混合边界条件的一维泊松方程。通过合理定义PDE残差和边界条件，配合适当的神经网络结构，我们可以有效求解这类微分方程问题。这种方法可以扩展到更高维度和更复杂的边界条件问题。
