NeuromatchAcademy动态网络教程：神经速率模型解析

摘要

本文深入解析神经速率模型的基本原理与实现方法，重点介绍单兴奋性神经元群体的动态建模过程。通过理论推导与Python代码实践相结合的方式，帮助读者掌握神经群体活动的数学描述、F-I曲线特性分析以及系统稳定点计算方法。

1. 神经群体动态基础

1.1 神经群体动态方程

大脑作为复杂网络系统，其核心特征在于神经元之间的连接方式与动态特性。神经速率模型将神经元群体视为动力学系统，通过平均发放率描述群体活动：

τ \frac{dr}{dt} = -r + F(I_{ext})

其中：

• $r(t)r(t)$: t时刻兴奋性群体的平均发放率
• $\tau \tau$: 发放率变化的时间常数
• $I_{ext}I\_\{ext\}$: 外部输入电流
• $F(\cdot )F(·)$: 群体激活函数（转移函数）

1.2 模型参数初始化

通过Python字典结构组织模型参数，便于管理与传递：

def default_pars_single(**kwargs):
    pars = {
        'tau': 1.0,      # 时间常数(ms)
        'a': 1.2,        # 增益参数
        'theta': 2.8,    # 激活阈值
        'w': 0.0,        # 连接权重(初始为0)
        'I_ext': 0.0,    # 外部输入
        'T': 20.0,       # 总模拟时长(ms)
        'dt': 0.1,       # 时间步长(ms)
        'r_init': 0.2    # 初始发放率
    }
    pars.update(kwargs)
    pars['range_t'] = np.arange(0, pars['T'], pars['dt'])
    return pars

2. F-I曲线特性分析

2.1 激活函数实现

群体激活函数通常采用Sigmoid形式，表现神经群体的非线性响应特性：

F(x;a,θ) = \frac{1}{1+e^{-a(x-θ)}} - \frac{1}{1+e^{aθ}}

Python实现代码：

def F(x, a, theta):
    """Sigmoid型群体激活函数"""
    return (1 + np.exp(-a * (x - theta)))**-1 - (1 + np.exp(a * theta))**-1

2.2 参数影响分析

• 增益参数a：控制曲线陡峭程度，值越大曲线越陡
• 阈值θ：决定曲线在x轴上的位置，θ增大曲线右移

3. 系统动态模拟与分析

3.1 动态方程数值解

采用欧拉方法求解微分方程：

def simulate_single(pars):
    tau, w, I_ext = pars['tau'], pars['w'], pars['I_ext']
    r = np.zeros_like(pars['range_t'])
    r[0] = pars['r_init']
    
    for i in range(1, len(pars['range_t'])):
        drdt = (-r[i-1] + F(w*r[i-1] + I_ext, pars['a'], pars['theta']))/tau
        r[i] = r[i-1] + drdt * pars['dt']
    
    return r

3.2 系统稳定点分析

通过求解dr/dt=0确定系统固定点：

def find_fixed_points(pars, r_range):
    drdt = lambda r: (-r + F(pars['w']*r + pars['I_ext'], 
                           pars['a'], pars['theta']))/pars['tau']
    fps = opt.root(drdt, r_range).x
    return fps

4. 应用实例与扩展

4.1 典型应用场景

1. 神经群体对阶跃输入的响应分析
2. 不同参数组合下的系统分岔研究
3. 网络振荡行为产生机制探索

4.2 模型扩展方向

1. 加入抑制性神经元群体
2. 考虑时变外部输入
3. 引入噪声项研究随机动力学

5. 总结

神经速率模型为研究大规模神经群体活动提供了有效工具。本文通过：

1. 建立了单兴奋性群体的动态方程
2. 实现了Sigmoid激活函数并分析其特性
3. 开发了数值模拟与稳定点分析方法

该模型框架可进一步扩展用于研究更复杂的神经网络动态特性。

附录：关键函数速查表

函数名称	功能描述	主要参数
default_pars_single	初始化默认参数	可覆盖默认值
F	计算群体激活响应	x:输入, a:增益, θ:阈值
simulate_single	模拟动态过程	pars:参数字典
find_fixed_points	寻找系统稳定点	pars:参数字典, r_range:搜索范围