神经动力学模型：单兴奋性神经元群体的速率模型

概述

本教程将介绍如何使用速率模型（Rate Model）来模拟和描述单个兴奋性神经元群体的动态行为。速率模型是计算神经科学中一种简化但强大的建模方法，它关注神经元群体的平均发放率而非单个神经元的动作电位。

速率模型基础

模型方程

单个兴奋性神经元群体的动态可以用以下微分方程描述：

τ(dr/dt) = -r + F(I_ext)

其中：

• r(t) 表示时刻t的群体平均发放率
• τ 是时间常数，控制发放率变化的快慢
• I_ext 是外部输入
• F(·) 是转移函数，描述输入到发放率的转换关系

转移函数（F-I曲线）

转移函数通常采用Sigmoid形式：

F(x; a, θ) = 1/(1 + e^{-a(x-θ)}) - 1/(1 + e^{aθ})

参数说明：

• a：增益，控制曲线陡峭程度
• θ：阈值，决定曲线中心位置

实现与可视化

参数设置

首先定义默认参数：

def default_pars_single(**kwargs):
    pars = {
        'tau': 1.0,     # 时间常数 [ms]
        'a': 1.2,       # 增益
        'theta': 2.8,    # 阈值
        'w': 0.0,       # 连接强度(初始设为0)
        'I_ext': 0.0,   # 外部输入
        'T': 20.0,      # 模拟总时长 [ms]
        'dt': 0.1,      # 时间步长 [ms]
        'r_init': 0.2   # 初始发放率
    }
    pars.update(kwargs)
    pars['range_t'] = np.arange(0, pars['T'], pars['dt'])
    return pars

转移函数实现

def F(x, a, theta):
    """Sigmoid转移函数"""
    return (1 + np.exp(-a * (x - theta)))**-1 - (1 + np.exp(a * theta))**-1

可视化F-I曲线

通过改变增益a和阈值θ，可以观察到F-I曲线的变化：

• 增大a使曲线更陡峭
• 增大θ使曲线向右平移

模型动态分析

固定点分析

固定点是dr/dt=0时的r值，即满足：

r = F(w·r + I_ext)

可以通过绘图法或数值方法寻找固定点。

稳定性分析

通过计算dr/dt随r的变化，可以判断固定点的稳定性：

• 曲线与x轴的交点即为固定点
• 交点处斜率为负表示稳定固定点
• 交点处斜率为正表示不稳定固定点

应用与扩展

速率模型虽然简单，但能捕捉神经元群体的基本动态特性，适用于：

1. 研究网络稳定性
2. 分析发放率随输入的变化
3. 作为更复杂网络模型的基础

通过引入抑制性神经元、时变输入或更复杂的连接结构，可以扩展此模型以研究更丰富的神经动态现象。

总结

本教程介绍了：

1. 单兴奋性神经元群体的速率模型方程
2. Sigmoid转移函数的实现与特性
3. 模型动态的数值模拟方法
4. 固定点分析与稳定性判断

速率模型为理解神经群体动态提供了简洁而有力的工具，是研究神经信息处理的重要基础。